Question

18．已知曲線C的方程：x²+y²-4x-2y-m=0．
（1）若曲線C是圓，求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m=0時(shí)，是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦AB，且以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)D（0，3），若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）曲線C的方程化為（x-2）²+（y-1）²=5+m，由此能求出m的取值范圍．
（2）假設(shè)存在直線l：y=x+b，使l被圓C截得的弦為AB，且以AB為直徑的圓過(guò)D（0，3），由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-4x-2y=0}\\{y=x+b}\end{array}\right.$，得2x²+（2b-6）x+b²-2b=0，由此利用韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積能求出存在直線y=x和y=x+2滿足題意．

解答 解：（1）∵曲線C的方程：x²+y²-4x-2y-m=0，
∴曲線C的方程化為（x-2）²+（y-1）²=5+m，
由圓的性質(zhì)得5+m＞0，
解得m＞-5．
∴m的取值范圍是（-5，+∞）．
（2）假設(shè)存在直線l：y=x+b，
使l被圓C截得的弦為AB，且以AB為直徑的圓過(guò)D（0，3），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-4x-2y=0}\\{y=x+b}\end{array}\right.$，得2x²+（2b-6）x+b²-2b=0，
則x₁+x₂=-（b-3），x₁x₂=$\frac{^{2}-2b}{2}$，
∴y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=$\frac{^{2}}{2}+2b$，
y₁+y₂=x₁+x₂+2b=b+3，
依題意，$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}$=x₁x₂+（y₁-3）（y₂-3）=x₁x₂+y₁y₂-3（y₁+y₂）+9=b²-2b=0，
解得b=0或b=2，
∴存在直線y=x和y=x+2滿足題意．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積的合理運(yùn)用．