已知函數(shù)(),.
(Ⅰ)若,曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直,求的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求證:;
(Ⅲ)若,試探究函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處是否存在公切線,若存在,研究值的個(gè)數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(Ⅰ)(Ⅱ)見(jiàn)解析(Ⅲ)當(dāng)時(shí),函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處不存在公切線;當(dāng)時(shí),函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線,且符合題意的值有且僅有兩個(gè)
【解析】(I)當(dāng)a=1時(shí),根據(jù)建立關(guān)于b的方程,求出b值.
(II)由(I)得,定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102514235315625272/SYS201210251424562500439800_DA.files/image009.png">,要證,
只須證,然后構(gòu)造函數(shù),
利用導(dǎo)數(shù)研究其最小值,證明最小值大于零即可.
(III)本小題屬于探索性問(wèn)題,先假設(shè)函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線,則滿足
,所以,即,從而求出,
然后再討論是否大于零來(lái)確定假設(shè)是否成立.
解:(Ⅰ),,
∴, --------------------------2分
依題意得 ,∴. --------------------------3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102514235315625272/SYS201210251424562500439800_DA.files/image009.png">,
要證,只須證,
設(shè), -------------------4分
則,
令,得, ---------------------------6分
列表得
遞減 |
極小 |
遞增 |
∴時(shí),取極小值也是最小值,且,
∴,∴. --------------------8分
(Ⅲ)假設(shè)函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線,
∵,∴,
∵,,由得,,
即,∴,--------------9分
∵的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102514235315625272/SYS201210251424562500439800_DA.files/image009.png">,
當(dāng)時(shí),,∴函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處不存在公切線;---10分
當(dāng)時(shí),令 ,∵,,
∴,即, ----------------11分
下面研究滿足此等式的值的個(gè)數(shù):
(方法一)由得 ,
設(shè)函數(shù),,
令得,當(dāng)時(shí),遞增;
當(dāng)時(shí),遞減;
所以,,又時(shí),,
時(shí),,
所以,函數(shù)的圖象與軸有且僅有兩個(gè)交點(diǎn),即符合題意的值有且僅有兩個(gè).
綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處不存在公切線;
當(dāng)時(shí),函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線,
且符合題意的值有且僅有兩個(gè).-------------------------------14分
(方法二)設(shè),則,且,方程化為,
分別畫(huà)出和的圖象,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102514235315625272/SYS201210251424562500439800_DA.files/image073.png">時(shí),,
由函數(shù)圖象性質(zhì)可得和圖象有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)(且均符合),
所以方程有且只有兩個(gè)解.
綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處不存在公切線;
當(dāng)時(shí),函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線,
且符合題意的值有且僅有兩個(gè).--------------------------------14分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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3 |
π |
24 |
5π |
24 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
11π |
6 |
| ||
2 |
3 |
π |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
xn+2 | xn-2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
π |
2 |
A、f(x)=2sin(
| ||||
B、f(x)=2sin(
| ||||
C、f(x)=2sin(2x-
| ||||
D、f(x)=2sin(2x+
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