Question

20．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=-x²+6x-9，若函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 利用函數(shù)是偶函數(shù)，求出f（1）=0，然后得出函數(shù)的周期，利用函數(shù)的周期性，由y=f（x）-log_a（x+1）=0得到f（x）=log_a（x+1），分別作出函數(shù)y=f（x）和y=log_a（x+1）的圖象，利用圖象確定a的取值范圍．

解答 解：∵偶函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意x∈R，
有f（x+2）=f（x）-f（1），
∴令x=-1得f（-1+2）=f（-1）-f（1），
即f（1）=f（1）-f（1）=0，
則f（x+2）=f（x）-f（1）=f（x），
即函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，
若x∈[0，1]，則x+2∈[2，3]，
則f（x）=f（x+2）=-（x-1）²，
當(dāng)x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x）=-（x+1）²，
由y=f（x）-log_a（x+1）=0
得到f（x）=log_a（x+1），
分別作出函數(shù)y=f（x）和
g（x）=log_a（x+1）的圖象，
若a＞1，則不滿足條件（圖1）
如0＜a＜1，要使函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）
在（0，+∞）上至少有三個(gè)零點(diǎn)，
則滿足當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=-1，g（2）＞-1，
即log_a（2+1）＞-1，log_a3＞-1，
解得0＜a＜$\frac{1}{3}$．
故答案為：0＜a＜$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合，將方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的相交問(wèn)題是解決此類問(wèn)題的基本方法．綜合性較強(qiáng)．