Question

類比等差數(shù)列的定義給出“等和數(shù)列”的定義：

數(shù)列{a_n}，若從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的和等于同一個常數(shù)，則稱該數(shù)列為等和數(shù)列

；已知數(shù)列{a_n}是等和數(shù)列，且a₁=2，公和為5，那么a₁₈的值為

3

．這個數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n的計(jì)算公式為

Sn=

5 2 n 5 2 n- 1 2

，n為偶數(shù) ，n為奇數(shù)

或Sn=

5

2

n+

(-1)n-1

4

．

Answer 1

分析：這是一個類比推理的問題，在類比推理中，等差數(shù)列到等和數(shù)列的類比推理方法一般為：減法運(yùn)算類比推理為加法運(yùn)算，由：“如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列”類比推理得：“數(shù)列{a_n}，若從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的和等于同一個常數(shù)，則稱該數(shù)列為等和數(shù)列”．再由等和數(shù)列的定義，我們可得等和數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)相等，所有偶數(shù)項(xiàng)也相等，進(jìn)而根據(jù)a₁=2，公和為5，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得出數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n的計(jì)算公式．

解答：解：由等差數(shù)列的性質(zhì)類比推理等和數(shù)列的性質(zhì)時
類比推理方法一般為：
減法運(yùn)算類比推理為加法運(yùn)算，
由：“如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．”
類比推理得：
“數(shù)列{a_n}，若從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的和等于同一個常數(shù)，則稱該數(shù)列為等和數(shù)列”
∵a₁=2，公和為5，
∴a₂=3，a₃=2，a₄=3，a₅=2，…a_2n=3，a_2n+1=2，（n∈N）
∴a₁₈=3；
∴a_n=

2，n為奇數(shù) 3，n為偶數(shù)

，
∴這個數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n的計(jì)算公式為 Sn=

5 2 n 5 2 n- 1 2

，n為偶數(shù) ，n為奇數(shù)

或Sn=

5

2

n+

(-1)n-1

4

．
故答案為：數(shù)列{a_n}，若從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的和等于同一個常數(shù)，則稱該數(shù)列為等和數(shù)列；3；Sn=

5 2 n 5 2 n- 1 2

，n為偶數(shù) ，n為奇數(shù)

或Sn=

5

2

n+

(-1)n-1

4

．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是數(shù)列的概念及簡單表示法，其中類比推理出等和數(shù)列的概念并分析出等和數(shù)列的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．