已知函數(shù)f(x)=
1
2
sin2xsinθ+cos2xcosθ-
1
2
sin(
π
2
+θ)(0<θ<π)
,其圖象經(jīng)過點(
π
6
,
1
2

(1)求f(θ)的值
(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的
1
2
,縱坐標不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若關(guān)于x的方程g(x)=k在[0,
π
4
]
上只有唯一解,求實數(shù)k的取值范圍.
分析:(1)直接對原函數(shù)化簡整理,再把點(
π
6
,
1
2
)的坐標代入求出θ即可求f(θ)的值;
(2)先根據(jù)圖象的平移變換規(guī)律求出函數(shù)y=g(x)的解析式,再根據(jù)x的范圍畫出圖象,結(jié)合圖象即可求出實數(shù)k的取值范圍.
解答:解:(1)因為f(x)=
1
2
sin2xsinθ+
1+cos2x
2
cosθ-
1
2
cosθ=
1
2
(sin2xsinθ+cos2xcosθ)

=
1
2
cos(2x-θ)
…(3分)
f(
π
6
)=
1
2
cos(
π
3
-θ)=1

π
3
-θ=2kπ
又θ∈(0,π),
θ=
π
3
…(5分)
f(θ)=
1
2
cosθ=
1
4
…(6分)
(2)因為函數(shù)y=f(x)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的
1
2
,縱坐標不變,
得到函數(shù)y=g(x)=
1
2
cos(4x-
π
3
)…(8分)
x∈[0,
π
4
]
時,4x-
π
3
∈[-
π
3
,
3
]

作出y=
1
2
cost
t∈[-
π
3
,
3
]
的圖象,精英家教網(wǎng)
結(jié)合圖形知k=
1
2
或-
1
4
k<
1
4
.…(12分)
點評:本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換以及三角函數(shù)式的整理化簡.在整理三角函數(shù)式時,要牢記公式,并會對公式熟練使用.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(1)、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實數(shù)a的取值范圍是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當x≥1時,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案