Question

7．已知函數(shù)f（x）=log_a$\frac{x-5}{x+5}$（a＞0且a≠1）．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）設(shè)g（x）=log_a（x-3），h（x）=f（x）-g（-x）-1在其定義域內(nèi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m使得f（x+2）+f（m-x）為常數(shù)？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的定義域，利用函數(shù)的奇偶性的定義證明即可．
（2）化簡(jiǎn)h（x）=f（x）-g（-x）-1，構(gòu)造$h（x）={x^2}+（2-\frac{1}{a}）x-15+\frac{5}{a}$，求出對(duì)稱軸，通過(guò)a的討論，求解即可．
（3）若存在這樣的m，化簡(jiǎn)f（x+2）+f（m-x），利用常數(shù)，轉(zhuǎn)化為（k-1）x²+（m-2）（1-k）x-3（m-5）-7k（m+5）=0對(duì)定義域內(nèi)的x恒成立，求解即可．

解答 解：（1）f（x）為奇函數(shù)$\frac{x-5}{x+5}＞0$解得定義域?yàn)閧x|x＞5或x＜-5}
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．（1分）
$f（-x）={log_a}\frac{-x-5}{-x+5}=-{log_a}\frac{x-5}{x+5}=-f（x）$，所以f（x）為奇函數(shù)      （2分）

（2）方程${x^2}+（2-\frac{1}{a}）x-15+\frac{5}{a}=0$在（5，+∞）上有解              （4分）

設(shè)$h（x）={x^2}+（2-\frac{1}{a}）x-15+\frac{5}{a}$對(duì)稱軸$x=-1+\frac{1}{2a}$
①$-1+\frac{1}{2a}≤5$即$a≥\frac{1}{12}且a≠1$，則h（5）＜0，無(wú)解
②$-1+\frac{1}{2a}＞5$即$0＜a＜\frac{1}{12}$，則△≥0解得$0＜a≤\frac{{3-\sqrt{5}}}{16}$
綜上$0＜a≤\frac{{3-\sqrt{5}}}{16}$（8分）

（3）若存在這樣的m，則$f（x+2）+f（m-x）={log_a}\frac{x-3}{x+7}•\frac{-x+m-5}{-x+m+5}={log_a}\frac{{-{x^2}+（m-2）x-3（m-5）}}{{-{x^2}+（m-2）x+7（m+5）}}$
所以$\frac{{-{x^2}+（m-2）x-3（m-5）}}{{-{x^2}+（m-2）x+7（m+5）}}$為常數(shù)，設(shè)$\frac{{-{x^2}+（m-2）x-3（m-5）}}{{-{x^2}+（m-2）x+7（m+5）}}=k$
則（k-1）x²+（m-2）（1-k）x-3（m-5）-7k（m+5）=0對(duì)定義域內(nèi)的x恒成立
所以$\left\{\begin{array}{l}{k-1=0}\\{（m-2）（1-k）=0}\\{-3（m-5）-7k（m+5）=0}\end{array}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{k=1}\\{m=-2}\end{array}}\right.$
所以存在這樣的m=-2．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立，函數(shù)的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化思想分類(lèi)討論思想的應(yīng)用以及計(jì)算能力．