已知{an}是由非負整數(shù)組成的數(shù)列,滿足a1=0a2=3an1an=an12)(an22),n=34,5,

)求a3

)證明an=an22,n=34,5,;

)求{an}的通項公式及其前n項和Sn

 

答案:
解析:

(Ⅰ)解:由題設得a3a4=10,且a3、a4均為非負整數(shù),所以a3的可能的值為1,2,5,10.

a3=1,則a4=10,a5=,與題設矛盾.

a3=5,則a4=2,a5=,與題設矛盾.

a3=10,則a4=1,a5=60,a6=,與題設矛盾.

所以a3=2.

(Ⅱ)用數(shù)學歸納法證明:

①當n=3,a3=a1+2,等式成立.

②假設當n=kk≥3)時等式成立,即ak=ak2+2,由題設ak1ak=(ak1+2)·(ak2+2),因為ak=ak2+2≠0,所以ak1=ak1+2,

也就是說,當n=k+1時,等式ak1=ak1+2成立.

根據(jù)①和②,對于所有n≥3,有an+1=an1+2.

(Ⅲ)解:由a2k1=a2k1)-<span lang=EN-US style='mso-bidi-font-size: 10.5pt'>1+2,a1=0,及a2k=a2k1+2,a2=3得a2k1=2(k-1),a2k=2k+1,k=1,2,3,….

an=n+(-1)nn=1,2,3,….

所以Sn=

 


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已知{an}是由非負整數(shù)組成的數(shù)列,滿足a1=0,a2=3,an+1an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,4,5,…,
(1)求a3
(2)證明an=an-2+2,n=3,4,5,…;
(3)求{an}的通項公式及其前n項和Sn

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an=n+(-1)n

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