Question

（1）已知△ABC的頂點A（0，-1），B（0，1），直線AC，直線BC的斜率之積等于m（m₀），求頂點C的軌跡方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線．
（2）已知圓M的方程為：（x+1）²+y²=（2a）²（a＞0，且a1），定點N（1，0），動點P在圓M上運動，線段PN的垂直平分線與直線MP相交于點Q，求點Q軌跡方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設出頂點C的坐標，由AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0）列式整理得到頂點C的軌跡E的方程，然后分m的不同取值范圍判斷軌跡E為何種圓錐曲線；
（2）連接QN，則|QN|=|QP|，分類討論，當a＞1時，則點N在圓內，有|QN|+|QM|=|QP|+|QM|=|MP|=2a＞|MN|；當0＜a＜1時，則點N在圓外，有|QN|-|QM|=|QP|-|QM|=|MP|=2a＜|MN|，即可得出結論．

解答： 解：（1）設點C（x，y），由AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0），
得：

y-1

x

•

y+1

x

=m，化簡得：-mx²+y²=1（x≠0）．
當m＜-1時，軌跡E表示焦點在y軸上的橢圓，且除去（0，1），（0，-1）兩點；
當m=-1時，軌跡E表示以（0，0）為圓心，半徑是1的圓，且除去（0，1），（0，-1）兩點；
當-1＜m＜0時，軌跡E表示焦點在x軸上的橢圓，且除去（0，1），（0，-1）兩點；
當m＞0時，軌跡E表示焦點在y軸上的雙曲線，且除去（0，1），（0，-1）兩點．
（2）連結QN，則|QN|=|QP|，
當a＞1時，則點N在圓內，有|QN|+|QM|=|QP|+|QM|=|MP|=2a＞|MN|，
∴點Q的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，方程為：

x2

a2

+

y2

a2-1

=1．
當0＜a＜1時，則點N在圓外，有|QN|-|QM|=|QP|-|QM|=|MP|=2a＜|MN|，
∴點Q的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線，方程為：

x2

a2

-

y2

1-a2

=1

點評：本題考查了與直線有關的動點軌跡方程，考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，屬于中檔題．