Question

求函數f（x）=

x2+2x+2

x2+x+1

的值域．

Answer 1

考點：函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：利用分離常數將式子變形，再利用雙勾函數的性質即能求出函數的值域．

解答： 解：f（x）=

x2+2x+2

x2+x+1

=

x2+x+1+x+1

x2+x+1

=1+

x+1

x2+x+1

=1+

1

(x+1)2-(x+1)+1 x+1

=1+

1

(x+1)+ 1 x+1 -1

∵當x≠-1時，x+1+

1

x+1

∈(-∞，-2]∪[2，+∞)，
∴(x+1)+

1

x+1

-1∈(-∞，-3]∪[1，+∞），
∴f（x）∈[

2

3

，1)∪（1，2]
當x=-1時，f（x）=1，∴f（x）的值域為[

2

3

，2]．
故答案為：[

2

3

，2]．

點評：在求函數的值域時分離常數法是常用的方法之一，適當變形后，再利用雙勾函數的性質，求出值域，也可以利用單調性來求出值域．