Question

【題目】在數(shù)列{an}中，a1= ，且前n項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第n項(xiàng)的2n﹣1倍（n∈N*）．
（1）寫(xiě)出此數(shù)列的前5項(xiàng)；
（2）歸納猜想{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知 ， =（2n﹣1）an，分別取n=2，3，4，5，

得 ， ， ， ；

所以數(shù)列的前5項(xiàng)是： ， ， ， ，

（2）解：由（1）中的分析可以猜想 （n∈N*）．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立．

②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1且k∈N*）時(shí)猜想成立，即 ．

那么由已知，得 ，

即a1+a2+a3+…+ak=（2k2+3k）ak+1．所以（2k2﹣k）ak=（2k2+3k）ak+1，

即（2k﹣1）ak=（2k+3）ak+1，又由歸納假設(shè)，得 ，

所以 ，即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立．

綜上①和②知，對(duì)一切n∈N*，都有 成立

【解析】（1）利用數(shù)列{an}前n項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第n項(xiàng)的2n﹣1倍，推出關(guān)系式，通過(guò)n=2，3，4，5求出此數(shù)列的前5項(xiàng)；（2）通過(guò)（1）歸納出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．第一步驗(yàn)證n=1成立；第二步，假設(shè)n=k猜想成立，然后證明n=k+1時(shí)猜想也成立．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解數(shù)學(xué)歸納法的定義(數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法)．