設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足.

（Ⅰ）若求a3,a4,并猜想a2008的值（不需證明）;

（Ⅱ）若對n≥2恒成立，求a2的值.

解：（I）因a1=2,  a2=2-2,故

   

由此有, , ,,……

從而猜想an的通項為

,

所以

（Ⅱ）令xn=log2an.則,故只需求x2的值。

   設(shè)Sn表示xn的前n項和，則a1a2…an=,由2≤a1a2…an＜4得

   ≤Sn＝x1+x2+…+xn＜2（n≥2）.

因上式對n=2成立，可得≤x1+x2，又由a1=2,得x1＝1,故x2≥.

由于a1=2，（n∈N*）,得（n∈N*）,即

，

因此數(shù)列｛xn+1+2xn｝是首項為x2+2,公比為的等比數(shù)列，故

xn+1+2xn=（x2+2） （n∈N*）.

將上式對n求和得

Sn+1－x1+2Sn=（x2+2）（1++…+）=（x2+2）（2－）（n≥2）.

因Sn＜2，Sn+1＜2（n≥2）且x1=1,故

（x2+2）（2－）＜5（n≥2）.

因此2x2－1＜（n≥2）.

下證x2≤，若不然，假設(shè)x2＞，則由上式知，不等式

2n－1＜

對n≥2恒成立，但這是不可能的，因此x2≤.

又x2≥，故x2=，所以a2=2=.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}和{bn}滿足5an，5bn，5an+1成等比數(shù)列，lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差數(shù)列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通項an、bn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知2a2=a1+a3，數(shù)列{
Sn
}是公差為d的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式（用n，d表示）；
（2）設(shè)c為實數(shù)，對滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數(shù)m，n，k，不等式Sm+Sn＞cSk都成立．求證：c的最大值為
9
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知2a2=a1+a3，數(shù)列{
Sn
}是公差為d的等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式（用n，d表示）；
（Ⅱ）設(shè)c為實數(shù)，對滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數(shù)m，n，k，不等式Sm+Sn＞cSk都成立．求c的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•廣東）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足4Sn=
a
2
n+1
-4n-1，n∈N*，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列．
（1）證明：a2=
4a1+5
；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）證明：對一切正整數(shù)n，有
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
＜
1
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對于任意的正整數(shù)n都有等式Sn=
1
4
a
2
n
+
1
2
an（n∈N*）成立．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）令數(shù)列bn=|c|
an
2n
，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，若Tn＞8對n∈N*恒成立，求c的取值范圍．

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