Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿足

x≥1 x+y≤3 x-2y≤0

，則 z=

(y+x)(y-x)

xy

的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用

專題：數(shù)形結(jié)合法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出滿足

x≥1 x+y≤3 x-2y≤0

的可行域，可得

y

x

的范圍，化簡目標(biāo)函數(shù)，利用其單調(diào)性，可求最大值．

解答： 解：滿足

x≥1 x+y≤3 x-2y≤0

的可行域如圖所示，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，

1

2

），（1，2），（2，1），
∴

y

x

的值分別為

1

2

，2，
令

y

x

=t，則t∈[

1

2

，2]
∴z=

(y+x)(y-x)

xy

=

y2-x2

xy

=

y

x

-

x

y

=t-

1

t

∴該函數(shù)在[

1

2

，2]上單調(diào)遞增，
∴t=2時(shí)，z=

(y+x)(y-x)

xy

的最大值為

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查線性規(guī)劃知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，確定可行域是關(guān)鍵．