Question

（12分）已知函數(shù).

（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對于都有成立，試求的取值范圍；

（3）記.當時，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是（2）

（3）

【解析】

試題分析：(1)由題意知直線的斜率為1.

函數(shù)的定義域為，，

所以，所以.

所以， .

由解得；由解得.

所以的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是.                      ……4分

(2) ，由解得；由解得.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

所以當時，函數(shù)取得最小值，.

因為對于都有成立，所以即可.

則. 由解得.  

所以的范圍是                                                  ……8分

(3)依題得，則.

由解得；由解得.

所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù).

又因為函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，所以

解得.所以的取值范圍是                   ……12分

考點：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、已知單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍以及函數(shù)的零點個數(shù)問題，考查學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用以及運算求解能力.

點評：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)尤其是單調(diào)性的重要工具，研究函數(shù)的性質(zhì)時不要忘記求函數(shù)的定義域，在定義域范圍內(nèi)求解；第（3）問函數(shù)的零點問題要結(jié)合函數(shù)的圖象進行轉(zhuǎn)化.