Question

18．已知f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f（x）+g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x．若存在x₀∈[$\frac{1}{2}$，1]，使得等式af（x₀）+g（2x₀）=0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2$\sqrt{2}$，$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 先根據(jù)函數(shù)奇偶性定義，解出奇函數(shù)f（x）和偶函數(shù)g（x）的表達(dá)式，將等式af（x）+g（2x）=0，令t=2^x-2^-x，則t＞0，通過變形可得a=t+$\frac{2}{t}$，討論出右邊在x∈[$\frac{1}{2}$，1]的最大值，可以得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，g（x）為定義在R上的偶函數(shù)
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
又∵由f（x）+g（x）=2^-x，結(jié)合f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=2^x，
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$（2^x-2^-x），g（x）=$\frac{1}{2}（$2^x+2^-x）
等式af（x）+g（2x）=0，化簡(jiǎn)為-$\frac{a}{2}$（2^x-2^-x）+$\frac{1}{2}$（2^2x+2^-2x）=0
∵$\frac{1}{2}$≤x≤1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤2^x-2^-x≤$\frac{3}{2}$
令t=2^x-2^-x，則t＞0，因此將上面等式整理，得：a=t+$\frac{2}{t}$
∵$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤t≤$\frac{3}{2}$
∴2$\sqrt{2}$≤t+$\frac{2}{t}$≤$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$
∵存在x₀∈[$\frac{1}{2}$，1]，使得等式af（x₀）+g（2x₀）=0成立，
∴a∈[2$\sqrt{2}$，$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$]．
故答案為[2$\sqrt{2}$，$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題以指數(shù)型函數(shù)為載體，考查了函數(shù)求表達(dá)式以及不等式恒成立等知識(shí)點(diǎn)，屬于難題．合理地利用函數(shù)的基本性質(zhì)，再結(jié)合換元法和基本不等式的技巧，是解決本題的關(guān)鍵．