Question

9．數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足：若S_n=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{b_n}的各項為正，且滿足b_n≤$\frac{{a}_{n}_{n-1}}{{a}_{n}+_{n-1}}$，b₁=1，求證：b_n≤1（n∈N^*）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據數列遞推公式得到3a_n=a_n-1，即可得到數列{a_n}是以1為首項，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數列，問題得以解決；
（Ⅱ）由題意可得$\frac{1}{_{n}}$-$\frac{1}{_{n-1}}$≥$\frac{1}{{a}_{n}}$=3^n-1，再根據累加法得到$\frac{1}{_{n}}$-$\frac{1}{_{1}}$≥3+3²+3³+…+3^n-1=-$\frac{3}{2}$+$\frac{{3}^{n}}{2}$，即可得到b_n≤$\frac{2}{{3}^{n}-1}$≤$\frac{2}{{3}^{1}-1}$=1問題得以解決．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$a_n（n∈N^*），
∴S_n-1=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$a_n-1（n∈N^*），
∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$a_n-1，
∴3a_n=a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴S₁=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$a₁=a₁，
∴a₁=1，
∴數列{a_n}是以1為首項，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數列，
∴a_n=（$\frac{1}{3}$）^n-1，
（Ⅱ）∵數列{b_n}的各項為正，且滿足b_n≤$\frac{{a}_{n}_{n-1}}{{a}_{n}+_{n-1}}$，
∴a_nb_n+b_nb_n-1≤a_nb_n-1，
∴b_nb_n-1≤a_n（b_n-1-b_n）
∴$\frac{1}{_{n}}$-$\frac{1}{_{n-1}}$≥$\frac{1}{{a}_{n}}$=3^n-1，
∴$\frac{1}{_{2}}$-$\frac{1}{_{1}}$≥3，$\frac{1}{_{3}}$-$\frac{1}{_{2}}$≥3²，$\frac{1}{_{4}}$-$\frac{1}{_{3}}$≥3³，…，$\frac{1}{_{n}}$-$\frac{1}{_{n-1}}$≥3^n-1，
累加可得$\frac{1}{_{n}}$-$\frac{1}{_{1}}$≥3+3²+3³+…+3^n-1=$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$=-$\frac{3}{2}$+$\frac{{3}^{n}}{2}$
∵b₁=1，
∴$\frac{1}{_{n}}$≥$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，
∴b_n≤$\frac{2}{{3}^{n}-1}$≤$\frac{2}{{3}^{1}-1}$=1

點評 本題考查數列的求和，考查等比數列的定義及通項公式，突出考查累加法求通項公式，考查推理與運算能力，屬于中檔題．