Question

為響應國家擴大內(nèi)需的政策，某廠家擬在2014年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費用t（t≥0）萬元滿足x=7-

k

t+1

（k為常數(shù)）．如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件．已知2014年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分）．
（1）將該廠家2014年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數(shù)；并求年促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？
（2）若規(guī)定年促銷費用不能超過2萬元，則年產(chǎn)量為多少時，廠家利潤最大？最大利潤為多少？

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,函數(shù)最值的應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）先求出k的值，再根據(jù)產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分，可得該廠家2013年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數(shù)；即有y=45-

36

t+1

-t=45-(

36

t+1

+t+1)+1，利用基本不等式，可求該廠家2014年的廠家利潤最大．
（2）運用導數(shù)求得函數(shù)y在0＜t≤2為減函數(shù)，則當t=2時，x=5，y最大且為31．

解答： 解：（1）由題意有1=7-

k

1

，得k=6，故x=7-

6

t+1

．
故y=1.5×

6+12x

x

×x-（6+12x）-t，
=3+6x-t=3+6(7-

6

t+1

)-t=45-

36

t+1

-t（t≥0）．
即有y=45-

36

t+1

-t=45-(

36

t+1

+t+1)+1，
由基本不等式得，

36

t+1

+t+1≥2

36

=12，
當且僅當

36

t+1

=t+1，即t=5時等號成立．
故y=45-

36

t+1

-t=45-(

36

t+1

+t+1)+1=46-(

36

t+1

+t+1)≤46-12=34，
當且僅當t=5時，y有最大值34，
所以2014年的年促銷費用投入5萬元時，該廠家利潤最大，最大利潤為34萬元．
（2）由y=45-

36

t+1

-t=45-(

36

t+1

+t+1)+1，且0＜t≤2，
則y′=

36

(t+1)2

-1＜0，即y為減函數(shù)，則當t=2時，x=5，y最大且為31．
則年產(chǎn)量為5萬件時，廠家利潤最大，最大利潤為31萬元．

點評：本題考查函數(shù)模型的建立，考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．