Question

點(diǎn)P是直線l：x-y-2=0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別是圓C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和圓C₂：x²+（y-3）²=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則|PA|+|PB|的最小值為

73

-3

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，算出圓C₂關(guān)于直線l對(duì)稱的圓C'方程為（x-5）²+（y+2）²=1．當(dāng)點(diǎn)P位于線段C₁C'上時(shí)，線段AB'長是圓C₁與圓C'上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的距離最小值，由此結(jié)合對(duì)稱的知識(shí)與兩點(diǎn)間的距離公式加以計(jì)算，即可得出|PA|+|PB|的最小值．

解答：解：設(shè)圓C'是圓C₂：x²+（y-3）²=1關(guān)于直線l對(duì)稱的圓
可得C'（5，-2），圓C'方程為（x-5）²+（y+2）²=1
可得當(dāng)點(diǎn)P位于線段C₁C'上時(shí)，線段AB'長是圓C₁與圓C'上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的距離最小值
B'關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)在圓C₂上，由平幾知識(shí)得當(dāng)圓C₂上的
動(dòng)點(diǎn)B與該點(diǎn)重合時(shí)，|PA|+|PB|達(dá)到最小值
∵|C₁C'|=

(5+3)2+(-2-1)2

=

73

，
可得|AB'|=|C₁C'|-r₁-r₂=

73

-3
因此，|PA|+|PB|的最小值等于|AB'|=

73

-3
故答案為：

73

-3

點(diǎn)評(píng)：本題給出直線l與兩個(gè)定圓，求圓上兩個(gè)點(diǎn)A、B與直線l上動(dòng)點(diǎn)P的距離之和的最小值，著重考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．