Question

7．已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（x）+f（-x）=2若函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=$\frac{1+x}{x}$的圖象的交點(diǎn)依次為（x₁，y₁），（x₂，y₂），…（x_i，y_i）則$\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}+{y}_{i}）$=（　　）

• A． 0
• B． n
• C． 2n
• D． 4n

Answer 1

分析 由條件可得f（x）+f（-x）=2，即有f（x）關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱(chēng)，又函數(shù)y=$\frac{1+x}{x}$，即y=1+$\frac{1}{x}$的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱(chēng)，即有（x₁，y₁）為交點(diǎn)，即有（-x₁，2-y₁）也為交點(diǎn)，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（-x）=2-f（x），
即為f（x）+f（-x）=2，
可得f（x）關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱(chēng)，
函數(shù)y=$\frac{x+1}{x}$，即y=1+$\frac{1}{x}$的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱(chēng)，
即有（x₁，y₁）為交點(diǎn)，即有（-x₁，2-y₁）也為交點(diǎn)，
（x₂，y₂）為交點(diǎn)，即有（-x₂，2-y₂）也為交點(diǎn)，
…
則有$\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}+{y}_{i}）$=（x_i+y_i）=（x₁+y₁）+（x₂+y₂）+…+（x_n+y_n）
=$\frac{1}{2}$[（x₁+y₁）+（-x₁+2-y₁）+（x₂+y₂）+（-x₂+2-y₂）+…+（x_n+y_n）+（-x_n+2-y_n）]
=n．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的運(yùn)用：求和，考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的運(yùn)用，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．