Question

已知函數(shù)f（x）=sin（x+a）+

3

cos（x-a）（|a|＜

π

2

）的圖象關(guān)于y軸對稱，則角a的值為

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：綜合題,三角函數(shù)的求值

分析：依題意知，f（-x）=f（x），即sin（-x+a）+

3

cos（-x-a）=sin（x+a）+

3

cos（x-a）①，利用三角恒等變換對①式整理可得a=kπ-

π

6

（k∈Z），又|a|＜

π

2

，從而可得
角a的值．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=sin（x+a）+

3

cos（x-a）（|a|＜

π

2

）的圖象關(guān)于y軸對稱，
∴y=f（x）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），即sin（-x+a）+

3

cos（-x-a）=sin（x+a）+

3

cos（x-a），①
∵cos（-x-a）=cos（x+a），sin（-x+a）=-sin（x-a），
∴①式變形為：sin（x+a）-

3

cos（x+a）=-

3

cos（x-a）-sin（x-a），
∴2sin[（x+a）-

π

3

]=-2sin[

π

3

+（x-a）]=2sin[（x-a）-

2π

3

]，
∴x+a-

π

3

=x-a-

2π

3

+2kπ，或x+a-

π

3

=π-（x-a-

π

3

）+2kπ（k∈Z），
∴2a=2kπ-

π

3

或2x=2kπ+

5π

3

（舍去），
∴a=kπ-

π

6

（k∈Z），又|a|＜

π

2

，
∴a=-

π

6

．
故答案為：-

π

6

．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，考查誘導公式與兩角和與差的正弦的綜合應用，考查等價轉(zhuǎn)化思想與綜合運算能力，屬于難題．