Question

【題目】已知函數(shù)；.

（1）判斷在上的單調(diào)性，并說明理由；

（2）求的極值；

（3）當時，，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）極小值.（3）

【解析】

（1）求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號確定單調(diào)性，（2）利用導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，即得函數(shù)極值，（3）先根據(jù)特殊值得，再由（1）得，結(jié)合得,因此，最后利用（2）證明滿足條件.

解：（1）∵，

則.

當時，，，得，

∴在上單調(diào)遞減.

（2）∵，

則，

令，則.

∴即在上單調(diào)遞增.

又，

∴當時，，當時，.

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴有極小值.

（3）令，

即對成立.

①時，與矛盾，不成立.

②時，當時，

令，則，

∴在上單調(diào)遞增，

又，∴，即.

由（2）知.

當時，，而，等號不同時成立，

∴.

③時，若，則，

即，

由（1）知，

即.

∴，

∴不成立.

綜上，的取值范圍為.