Question

8．已知函數f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$，則下列判斷錯誤的是（　�。�

• A． f（2016）+f（-2016）=0
• B． f（2015）+f（-2016）＜0
• C． f（2015）-f（-2016）＞1
• D． f（2015）+f（-2016）＜-1

Answer 1

分析 利用函數的奇偶性和單調性，可得f（x）為奇函數，在R上單調遞增，f（x）的值域為（-1，1），x＞0時，f（x）∈（ 0，1）；當x＞ln3時，f（x）∈（$\frac{1}{2}$，1），從而得出結論．

解答 解：函數f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$的定義域為R，且滿足f（-x）=$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{-x}+1}$=-$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=-f（x），故f（x）為奇函數．
故f（2016）+f（-2016）=0，故A正確．
又f（x）=1-2•$\frac{1}{{e}^{x}+1}$，在R上單調遞增，f（x）的值域為（-1，1），
f（2015）+f（-2016）=f（2016）-f（2016）＜0，故B正確．
x＞0時，f（x）∈（ 0，1）；當x＞ln3時，f（x）∈（$\frac{1}{2}$，1）．
故有f（2015）∈（0，1），f（2016）∈（0，1），
可得f（2015）-f（-2016）=f（2015）+f（2016）＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1，故C正確．
根據 f（2015）+f（-2016）=f（2015）-f（2016）∈（-1，0），故只有D錯誤，
故選：D．

點評 本題主要考查函數的奇偶性和單調性的綜合應用，屬于中檔題．