Question

已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）對(duì)任意的x，y＞0，均有f（xy）=f（x）•f（y），且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜1，f（3）=

1

9

（1）求證f（x）＞0；
（2）求證f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
（3）若f（m）=9，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用賦值法，根據(jù)條件f（xy）=f（x）•f（y）將x，y換為

x

，舍去f（

x

）=0，即得f（x）＞0；
（2）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性的定義，令0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，根據(jù)x＞1時(shí)，f（x）＜1，得到f(

x2

x1

)＜1，再由f（xy）=f（x）•f（y）得

f(x2)

f(x1)

＜1，再由（1）的結(jié)論得證；
（3）運(yùn)用賦值法，令x=y=1，由條件求出f（1）=1，再令x=3，y=

1

3

，求出f（

1

3

）=9，從而得到f（m）=f（

1

3

），根據(jù)（2）的結(jié)論，即得m的值．

解答： （1）證明：∵對(duì)任意的x，y＞0，均有f（xy）=f（x）•f（y），
∴f（x）=f（

x

）•f（

x

）=f²（

x

），
若f（

x

）=0，則f（x）=0，這與f（3）＞0矛盾，
∴f（x）＞0成立；
（2）證明：令0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，
∵x＞1時(shí)，f（x）＜1，
∴f(

x2

x1

)＜1，
∵f（xy）=f（x）•f（y），
∴f（x）=

f(xy)

f(y)

，
∴f(

x2

x1

)=

f(x2)

f(x1)

＜1，
由（1）得：f（x₂）＜f（x₁），
∴由函數(shù)的單調(diào)性的定義得：
f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
（3）解：令x=y=1，則f（1）=f²（1），
即f（1）=1或f（1）=0（舍去），
又f（3）=

1

9

，
∴f(

1

3

)=

f(1)

f(3)

=

1

1 9

=9，
∵f（m）=9，
∴f（m）=f（

1

3

），
∵f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴m=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的證明和運(yùn)用，注意定義域的應(yīng)用，同時(shí)考查賦值法在解決抽象函數(shù)問題時(shí)的靈活運(yùn)用，注意條件的反復(fù)運(yùn)用和靈活運(yùn)用．