過(guò)點(diǎn)(1，0)的直線與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且離心率為的橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，直線y=過(guò)線段PQ的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱．

（1）求直線l的方程；

（2）求橢圓C的方程．

 

答案：
解析：

（1）設(shè)橢圓方程為(a>b>0)            ①

由題設(shè)知，直線l不平行于y軸，否則PQ中點(diǎn)在x軸上與直線y=過(guò)PQ中點(diǎn)矛盾．

故可設(shè)直線l方程為y=k(x-1)                          ②

②代入①消y整理得：(k2a2+b2)x2-2k2a2x+a2k2-a2b2=0      ③

設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1+x2=

∵ PQ的中點(diǎn)為在直線y=上，

∴ ，即．

又y1+y2=k(x1+x2)-2k代入上式得：，

∴ ．

∵ e=，∴ ，

故直線l的方程為y=-x+1．

（2）由（1）知，a2=2b2，方程③即為3x2-4x+2-2b2=0．

故D=16-24(1-b2)=8(3b2-1)>0，得b>．

橢圓C的方程即為：x2+2y2=2b2，           ④    其右焦點(diǎn)為F(b，0)

設(shè)點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為F/(x0，y0)，則應(yīng)有

得x0=1，y0=1-b，即F/(1，1-b)

又點(diǎn)在F/的橢圓上．代入④得：1+2(1-b)2=2b2．解得b=

∴ b2=，a2=．于是所求橢圓C的方程為：．

 


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[　　]
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|k|≥1

B．

＜|k|＜2

C．

|k|≤

D．

|k|＜1

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