Question

2．底面半徑為4，高為$8\sqrt{2}$的圓錐有一個(gè)內(nèi)接的正四棱柱（底面是正方形，側(cè)棱與底面垂直的四棱柱）．
（1）設(shè)正四棱柱的底面邊長為x，試將棱柱的高h(yuǎn)表示成x的函數(shù)；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，此正四棱柱的表面積最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)比例關(guān)系式求出h關(guān)于x的解析式即可；（2）設(shè)該正四棱柱的表面積為y，得到關(guān)系式y(tǒng)=2x²+4xh，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最大值即可．

解答 解：（1）根據(jù)相似性可得：$\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}x}}{4}=\frac{{8\sqrt{2}-h}}{{8\sqrt{2}}}$…（3分）
解得：$h=8\sqrt{2}-2x（0＜x＜4\sqrt{2}）$…（6分）（沒范圍扣1分）
（2）設(shè)該正四棱柱的表面積為y．則有關(guān)系式y(tǒng)=2x²+4xh
=$2{x^2}+4x（8\sqrt{2}-2x）$
=$-6{x^2}+32\sqrt{2}x$
=$-6{（x-\frac{8}{3}\sqrt{2}）^2}+\frac{256}{3}$…（9分）
因?yàn)?0＜x＜4\sqrt{2}$，所以當(dāng)$x=\frac{8}{3}\sqrt{2}$時(shí)，${y_{max}}=\frac{256}{3}$…（11分）
故當(dāng)正四棱柱的底面邊長為$\frac{8}{3}\sqrt{2}$時(shí)，此正四棱柱的表面積最大值為$\frac{256}{3}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及求函數(shù)的最值問題，是一道中檔題．