Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意n∈N^*滿足S_n=2a_n+n-3．
（1）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n-1，求證{b_n}為等比數(shù)列；
（2）若c_n=na_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）S_n=2a_n+n-3，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁．當(dāng)n≥2時(shí)，利用a_n=S_n-S_n-1，化為：a_n=2a_n-1+1，變形為a_n-1=2（a_n-1-1），利用等比數(shù)列的定義即可證明．
（2）由（1）可得：b_n=2^n-1=a_n-1，可得a_n=2^n-1+1．利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列與等差數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵S_n=2a_n+n-3，∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n+n-3-（2a_n-1+n-1-3），化為：a_n=2a_n-1+1，變形為a_n-1=2（a_n-1-1），
∵b_n=a_n-1，∴b_n=2b_n-1，b₁=2-1=1，
∴{b_n}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2．
（2）解：由（1）可得：b_n=2^n-1=a_n-1，∴a_n=2^n-1+1．
∴c_n=na_n=n•2^n-1+n．
設(shè)數(shù)列{n•2^n-1}的前n項(xiàng)和為：A_n．
則A_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
∴2A_n=2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-A_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ=（1-n）×2ⁿ-1，
∴A_n=（n-1）×2ⁿ+1．
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=（n-1）×2ⁿ+1+$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．