Question

已知函數(shù)f（x）=(

x

x+1

)2（x＞0），試判斷f^-1（x）的單調(diào)性，并用定義證明．

Answer 1

考點：反函數(shù),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：反函數(shù)f^-1（x）的單調(diào)性與原函數(shù)f（x）的單調(diào)性相同，故只需證明f（x）的單調(diào)性即可，定義法可判．

解答： 解：由反函數(shù)的性質(zhì)可得f^-1（x）的單調(diào)性與f（x）=(

x

x+1

)2（x＞0）的單調(diào)性相同，
故只需證明f（x）的單調(diào)性即可，
設任意x₁，x₂＞0且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）
=(

x1

x1+1

)2-(

x2

x2+1

)2=

x12(x22+1)2-x22(x12+1)2

(x1+1)2(x22+1)2

=

(x1-x2)(2x1x2+x1+x2)

(x1+1)2(x22+1)2

，
∵x₁，x₂＞0且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，
又2x₁x₂+x₁+x₂＞0，(x12+1)2(x22+1)2＞0，
∴

(x1-x2)(2x1x2+x1+x2)

(x1+1)2(x22+1)2

＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）=(

x

x+1

)2（x＞0）為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f^-1（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．

點評：本題考查反函數(shù)的性質(zhì)，涉及定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎題．