Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）見解析.

【解析】

（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)后，通過，確定的正負(fù)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；

（2）將問題轉(zhuǎn)化為證明：，設(shè)，只需證；通過求導(dǎo)運算，可知，再通過零點存在定理，不斷確定的最值位置，從而證得，證得結(jié)論.

（1）函數(shù)的定義域為，

因為，所以，

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

（2）若且，

欲證，只需證，

即證，

設(shè)函數(shù)，則，

當(dāng)時，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，

設(shè)函數(shù)，則，

設(shè)函數(shù)，則，

當(dāng)時，，

故，使得，

從而函數(shù)在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，

所以，且，

故存在，使得，

即當(dāng)時，，當(dāng)時，，

從而函數(shù)在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，

因為，故當(dāng)時，，

所以，

即.