Question

5．在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，頂點(diǎn)A₁在底面ABC內(nèi)的射影恰為線段AB的中點(diǎn)，AA₁=2，△ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，N為△ABC的中心，$\overrightarrow{{C}_{1}M}$=2$\overrightarrow{MB}$．
（1）求證：MN∥平面A₁B₁BA；
（2）求三棱錐B₁-A₁AM的體積．

Answer 1

分析 （1）取AB中點(diǎn)O，連結(jié)AO，CO，則A₁O⊥平面ABC，CO⊥AB，且N∈CO，以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OB為y軸，OA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明MN∥平面A₁B₁BA．
（2）求出平面A₁AM的法向量，從而求出B₁到平面A₁AM的距離，由此能求出三棱錐B₁-A₁AM的體積．

解答 證明：（1）取AB中點(diǎn)O，連結(jié)AO，CO，
∵斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，頂點(diǎn)A₁在底面ABC內(nèi)的射影恰為線段AB的中點(diǎn)，AA₁=2，
△ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，N為△ABC的中心，$\overrightarrow{{C}_{1}M}$=2$\overrightarrow{MB}$．
∴A₁O⊥平面ABC，CO⊥AB，且N∈CO，
以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OB為y軸，OA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則N（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），B（0，1，0），C₁（$\sqrt{3}，1，\sqrt{3}$），
∵$\overrightarrow{{C}_{1}M}$=2$\overrightarrow{MB}$，∴設(shè)M（a，b，c），
則（a-$\sqrt{3}$，b-1，c-$\sqrt{3}$）=2（-a，1-b，-c）=（-2a，2-2b，-2c），
∴M（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），∴$\overrightarrow{MN}$=（0，-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
平面A₁B₁BA為$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{n}$=0，MN?平面A₁B₁BA，
∴MN∥平面A₁B₁BA．
解：（2）A₁（0，0，$\sqrt{3}$），B₁（0，2，$\sqrt{3}$），A（0，-1，0），B（0，1，0），M（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}，2，\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，3，$\sqrt{3}$），
設(shè)平面A₁AM的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=\frac{\sqrt{3}}{3}x+2y+\frac{\sqrt{3}}{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（5，-$\sqrt{3}$，1），
∴B₁到平面A₁AM的距離d=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{29}}$，
cos＜$\overrightarrow{A{A}_{1}}，\overrightarrow{AM}$＞=$\frac{\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{AM}}{|\overrightarrow{A{A}_{1}}|•|\overrightarrow{AM}|}$=$\frac{3}{2\sqrt{\frac{42}{9}}}$=$\frac{9}{2\sqrt{42}}$，
sin＜$\overrightarrow{A{A}_{1}}，\overrightarrow{AM}$＞=$\sqrt{1-（\frac{9}{2\sqrt{42}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{29}}{2\sqrt{14}}$，
∴${S}_{△{A}_{1}AM}$=$\frac{1}{2}×|\overrightarrow{A{A}_{1}}|×|\overrightarrow{AM}|×sin＜\overrightarrow{A{A}_{1}}，\overrightarrow{AM}＞$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{\frac{42}{9}}×\frac{\sqrt{29}}{2\sqrt{14}}$=$\frac{\sqrt{87}}{6}$，
∴三棱錐B₁-A₁AM的體積：
$V=\frac{1}{3}×d×{S}_{△{A}_{1}AM}$=$\frac{1}{3}×\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{29}}×\frac{\sqrt{87}}{6}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查幾何體的體積的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．