Question

函數f（x）=[x]表示不超過x的最大整數，例如f（-3.5）=-4，f（2.1）=2．設函數g（x）=

2x

1+2x

-

1

2

，則函數y=f[g（x）]+f[g（-x）]的值域為

 

．（用集合表示）

Answer 1

考點：函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：由題意知，f（x）是定義域R上的奇函數，且值域是（-，）；∴f（-x）的值域也是（-，）；
分x=0，x＞0，x＜0時討論函數y的值即可．

解答： 解：由題意，f（x）=

2x

1+2x

-

1

2

=1-

1

1+2x

-

1

2

=

1

2

-

1

1+2x

；
∴f（-x）=

2-x

1+2-x

-

1

2

=

1

1+2x

-

1

2

=-f（x），
即f（x）是奇函數．
又∵2^x＞0，
∴1+2^x＞1，
∴0＜

1

1+2x

＜1，
∴-

1

2

＜

1

1+2x

-

1

2

＜

1

2

；
∴-

1

2

＜f（-x）＜

1

2

；
∴-

1

2

＜f（x）＜

1

2

；
當x=0時，f（x）=f（-x）=0，y=[f（x）]+[f（-x）]=0；
當x≠0時，若x＞0，則0＜f（x）＜

1

2

，-

1

2

＜f（-x）＜0，
∴y=[f（x）]+[f（-x）]=0+（-1）=-1，
若x＜0，則y=[f（x）]+[f（-x）]=（-1）+0=-1．
所以函數y的值域為{0，-1}．
故答案為：{0，-1}．

點評：本題用求值域來考查指數函數的性質，函數的奇偶性，函數取整問題，應該是有難度的題．