Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P為BC邊的中點(diǎn)，SB與平面ABCD所成的角為45°，且AD=2，SA=1．
（Ⅰ）求證：PD⊥平面SAP，
（Ⅱ）求二面角A-SD-P的大小的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用勾股定理證明AP⊥PD，由 SA⊥底面ABCD，可得SA⊥PD，所以PD⊥平面SAP．
（Ⅱ）設(shè)Q為AD的中點(diǎn)，過(guò)Q作QR⊥SD，由三垂線定理可知，∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角．由三角形相似求得SD，從而求得QR，利用 tan∠PRQ=

PQ

QR

求出結(jié)果．

解答：證明：（Ⅰ）因?yàn)镾A⊥底面ABCD，所以，∠SBA是SB與平面ABCD所成的角．
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1易求得，AP=PD=

2

，
又因?yàn)锳D=2，所以AD²=AP²+PD²，所以AP⊥PD．
因?yàn)?SA⊥底面ABCD，PD?平面ABCD，所以，SA⊥PD，
由于SA∩AP=A，所以PD⊥平面SAP．
（Ⅱ）設(shè)Q為AD的中點(diǎn)，連接PQ，由于SA⊥底面ABCD，且SA?平面SAD，
則平SAD⊥平面PAD．因?yàn)镻Q⊥AD，所以PQ⊥平面SAD，過(guò)Q作QR⊥SD，垂足為R，連接PR，
由三垂線定理可知PR⊥SD，所以，∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角．
容易證明△DRQ∽△DAS，則

QR

SA

=

DQ

SD

因?yàn)镈Q=1，SA=1，SD=

5

，
所以QR=

DQ

SD

•SA=

1

5

．（10分）在Rt△PRQ中，因?yàn)镻Q=AB=1，
所以tan∠PRQ=

PQ

QR

=

5

所以二面角A-SD-P的大小的正切值為

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，求二面角的平面角，求出RQ的長(zhǎng)度是解題的難點(diǎn)．