Question

【題目】已知點R（x0 ， y0）在D：y2=2px上，以R為切點的D的切線的斜率為 ，過Γ外一點A（不在x軸上）作Γ的切線AB、AC，點B、C為切點，作平行于BC的切線MN（切點為D），點M、N分別是與AB、AC的交點（如圖）．

（1）用B、C的縱坐標s、t表示直線BC的斜率；
（2）設三角形△ABC面積為S，若將由過Γ外一點的兩條切線及第三條切線（平行于兩切線切點的連線）圍成的三角形叫做“切線三角形”，如△AMN，再由M、N作“切線三角形”，并依這樣的方法不斷作切線三角形…，試利用“切線三角形”的面積和計算由拋物線及BC所圍成的陰影部分的面積T．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設切線方程為y﹣y0= （x﹣x0），

kBC= =

（2）

解：設D（μ，v），則MN∥BC，

∴ = ，（s，t為B，C的縱坐標），

v= D（ ， ），

設A（a，b）利用切線方程得：

即 ，兩式相減得：

b= ，a= ，A（ ， ），

由前面計算可知：AD平行于橫軸，可得yE= ，

BC：y﹣t= （x﹣ ），將yE= ，代入xE= ，

由xA+xE= + = =2xD，

所以D為AE的中點；

設：S△AMN=R，由上可知R= S△ABC= ，

由M，N確定的確定的切線三角形的面積為 × = ，

后一個切線三角形的面積是前一切線三角形面積的 ，

由此繼續(xù)下去可得算式：

S△ABC=S=T+R+2 +4 +8 +…+，

=T+R+ + + +…，

∴T=S﹣ =S﹣ R= S

【解析】（1）根據(jù)題意可知設出直線方程，由切線斜率的定義即可表示出直線BC的斜率；（2）求得切線的斜率，可得D的坐標，求得直線BC的方程，運用中點坐標公式可得A關于D的對稱點在直線BC上，求得D為AE的中點，根據(jù)MN為三角形ABC的中位線，且E為BC的中點，D為MN的中點，求得三角形ABC的面積，再由三角形的面積之比與對應邊的比的關系，可得由拋物線外作出的“切線三角形”的面積構成以 S為首項， 為公比的等比數(shù)列，運用無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式，可得所有面積和，即可得到所求面積T．