Question

兩異面直線a，b成80°角，過空間任意一點P作直線l，使其與兩直線a，b成等角50°，則這樣的直線l有

3

條．

Answer 1

分析：根據(jù)已知中異面直線a與b所成的角為80°，設(shè)O為空間一點，過O分別作OA∥a，OB∥b，則OA，OB成80°角．過O點作出直線OA，OB相交所成角的兩條角平分線，滿足題意的直線或為兩平分線或其射影為兩平分線，由此確定直線條數(shù)．

解答：解：首先給出兩個性質(zhì)①與一個角∠AOB的兩邊成等角的直線在面AOB內(nèi)的射影是∠AOB的平分線．
②若∠AOC所在平面與∠BOC所在平面垂直，則有cos∠AOCcos∠BOC=cos∠AOB．
在空間任取一點O，作OA∥a，OB∥b，則OA，OB成80°角，不妨設(shè)∠AOB=80°，如圖

（1）直線l₁為∠AOB的補(bǔ)角∠A′OB=100°的平分線，此時l₁與兩直線 OA，OB成等角50°，從而l₁與兩直線a，b成等角50°，若把直線l₁繞O在垂直于面A′OB 的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時，設(shè)
l₁與面A′OB所成的角為θ，由性質(zhì)②cosθcos50°=cos50°，θ=0°，與旋轉(zhuǎn)前l(fā)₁重合． 即此時只有一條直線滿足題意．
 （2）直線l₂為∠AOB的平分線，顯然l₂與兩直線 OA，OB成等角40°，若把直線l₂繞O在垂直于面AOB 的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時，設(shè)l₂與面AOB所成的角為θ，由性質(zhì)②cosθcos40°=cos50°，
移向得出cosθ=

cos50°

cos40°

＜1．存在θ，根據(jù)對稱性，在面AOB兩側(cè)各有一條．即此時共有兩條直線滿足題意．
綜上所述這樣的直線l有3條．
故答案為：3．

點評：本題考查異面直線所成的角，以及解決異面直線所成的角的方法（平移法）的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和運(yùn)動變化的思想方法． 本題利用定量的方法進(jìn)行問題解決，當(dāng)改變題干中兩個角的度數(shù)大小時，此法照樣使用．