Question

已知函數(shù)f（x）=

x

x2+ax+2

，x≥1．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最大值；
（2）對(duì)任意x≥1，f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

x

x2+x+2

=

1

x+ 2 x +1

，利用基本不等式求f（x）的最大值；
（2）對(duì)任意x≥1，f（x）＞0恒成立，對(duì)任意x≥1，x²+ax+2＞0恒成立，可得a＞-（x+

2

x

），利用基本不等式求的最值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

x

x2+x+2

=

1

x+ 2 x +1

，
∵x≥1，
∴x+

2

x

≥2

2

，
∴f（x）≤

1

2 2 +1

=

2 2 -1

7

；
（2）對(duì)任意x≥1，f（x）＞0恒成立，
∴對(duì)任意x≥1，x²+ax+2＞0恒成立，
∴a＞-（x+

2

x

），
∵x+

2

x

≥2

2

，
∴-（x+

2

x

）≤-2

2

，
∴a＞-2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．