Question

13．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（-x）+3，-2＜x≤-1}\\{-{x}^{2}-2x+1，x＞-1}\end{array}\right.$且f（2a）-$\frac{1}{2}$（2a+2）²＜f（12-a）-$\frac{1}{2}$（14-a）²，則實數a的取值范圍為（　　）

• A． （2，4）
• B． （4，14）
• C． （2，14）
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$（x+2）²，利用導數法可得函數在定義域（-2，+∞）上為減函數，進而結合f（2a）-$\frac{1}{2}$（2a+2）²＜f（12-a）-$\frac{1}{2}$（14-a）²，得到實數a的取值范圍．

解答 解：函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（-x）+3，-2＜x≤-1}\\{-{x}^{2}-2x+1，x＞-1}\end{array}\right.$在定義域（-2，+∞）上為減函數，
由2a＞-2，且12-a＞-2得：a∈（-1，14），
令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$（x+2）²=$\left\{\begin{array}{l}ln（-x）-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+1，-2＜x≤-1\\-\frac{3}{2}{x}^{2}-4x-1，x＞-1\end{array}\right.$，
則g′（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-x-2，-2＜x≤-1\\-3x-4，x＞-1\end{array}\right.$＜0恒成立，
故g（x）為減函數，
若f（2a）-$\frac{1}{2}$（2a+2）²＜f（12-a）-$\frac{1}{2}$（14-a）²，
則2a＞12-a，
解得：a＞4，
綜上可得：a∈（4，14），
故選：B

點評 本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，分段函數的應用，難度中檔．