Question

5．已知函數(shù)f（x）=mlnx-x²+2（m≤8）．
（1）當(dāng)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率大于-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）若f（x）-f′（x）≤4x-3對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，求m的取值范圍．（提示：ln2≈0.7）

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的范圍求出m的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）令g（x）=mlnx-x²+2-$\frac{m}{x}$+2x-4x+3=mlnx-x²-2x-$\frac{m}{x}$+5，求出導(dǎo)函數(shù)，通過當(dāng)m≤2時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)2＜m≤8時(shí)，求出g（x）取得最大值．然后求得2≤m≤8．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{m}{x}$-2x，f′（1）=m-2＞-2，解得：m＞0，
故m∈（0，8]，
f′（x）=$\frac{m-{2x}^{2}}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\sqrt{\frac{m}{2}}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{\frac{m}{2}}$，
故f（x）在（0，$\sqrt{\frac{m}{2}}$）遞增，在（$\sqrt{\frac{m}{2}}$，+∞）遞減；
（2）令g（x）=mlnx-x²+2-$\frac{m}{x}$+2x-4x+3=mlnx-x²-2x-$\frac{m}{x}$+5，
則g′（x）=$\frac{m}{x}$-2x-2+$\frac{m}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+1）（m-{2x}^{2}）}{{x}^{2}}$①，
當(dāng)m≤2時(shí)，g′（x）＜0，所以g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x≥1，g（x）≤g（1），
故只需g（1）≤0，即-1-2-m+5≤0，即m≥2，所以m=2，
②當(dāng)2＜m≤8時(shí)，解g′（x）=0，得x=±$\sqrt{\frac{m}{2}}$
當(dāng)1＜x＜$\sqrt{\frac{m}{2}}$時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞$\sqrt{\frac{m}{2}}$時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減．
所以當(dāng)x=$\sqrt{\frac{m}{2}}$時(shí)，g（x）取得最大值．
故只需g（$\sqrt{\frac{m}{2}}$）≤0，即mln$\sqrt{\frac{m}{2}}$-$\frac{m}{2}$-2$\sqrt{\frac{m}{2}}$-$\frac{m}{\sqrt{\frac{m}{2}}}$+5≤0，
令h（x）=xlnx-x-4$\sqrt{x}$+5，則h′（x）=1+lnx-1-$\frac{2}{\sqrt{x}}$=lnx-$\frac{2}{\sqrt{x}}$，h″（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x\sqrt{x}}$＞0，
所以h′（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
又h′（1）=-2＜0，h′（4）=ln4-1＞0，以?x₀∈（1，4），h′（x₀）=0，
所以h（x）在（1，x₀）上單調(diào)遞減，
在（x₀，4）上遞增，而h（1）=-1-4+5=0，h（4）=4ln4-4-8+5=8ln2-7＜0，
所以x∈[1，4]上恒有h（x）≤0，
所以當(dāng)2＜m≤8時(shí)，mln$\sqrt{\frac{m}{2}}$-$\frac{m}{2}$-2$\sqrt{\frac{m}{2}}$-$\frac{m}{\sqrt{\frac{m}{2}}}$+5≤0，
綜上所述，2≤m≤8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的應(yīng)用，考查構(gòu)造法的應(yīng)用，分析問題解決問題的能力．