【題目】在四棱錐中,底面是矩形,側(cè)棱底面, 分別是的中點, , .

(Ⅰ)求證: 平面

(Ⅱ)求與平面所成角的正弦值;

(Ⅲ)在棱上是否存在一點,使得平面平面?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(Ⅰ)詳見解析(Ⅱ)(Ⅲ)在存在一點,使得平面平面,且.

【解析】試題分析:(Ⅰ)根據(jù)中位線定理得, ,所以為平行四邊形,進(jìn)而可證平面;

(Ⅱ)建立直角坐標(biāo)系 ,求解平面的法向量為,設(shè)與平面所成角為,利用求解即可;

(Ⅲ)設(shè)上存在一點,則,令,求解即可.

試題解析:

(Ⅰ)證明:取中點,連接.

因為分別是的中點,

所以,且.

因為是矩形, 中點,

所以 .

所以為平行四邊形.

所以.

又因為平面, 平面

所以平面.

(Ⅱ)因為平面,

所以, .

因為四邊形是矩形,所以.

如圖建立直角坐標(biāo)系,

所以, ,

所以 .

設(shè)平面的法向量為,

因為,所以.

,所以,所以.

又因為,

設(shè)與平面所成角為,

所以 .

所以與平面所成角的正弦值為.

(Ⅲ)因為側(cè)棱底面

所以只要在上找到一點,使得

即可證明平面平面.

設(shè)上存在一點,則,

所以.

因為

所以令,即,所以.

所以在存在一點,使得平面平面,且.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】中,角所對的邊分別為,且, 的中點,且 ,則的最短邊的邊長為__________

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時,求函數(shù)上的最小值;

(2)若對任意,不等式恒成立,求的取值范圍;

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)2x的定義域為(0,1](a為實數(shù)).

(1)當(dāng)a1,求函數(shù)yf(x)的值域;

(2)求函數(shù)yf(x)在區(qū)間(0,1]上的最大值及最小值,并求出當(dāng)函數(shù)f(x)取得最值時x的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別是,點在橢圓上, 是等邊三角形.

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)點在橢圓上,線段與線段交于點,若的面積之比為,求點的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù).

1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)若存在、滿足.求證 (其中的導(dǎo)函數(shù)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)當(dāng)時,求不等式的解集;

(2)若不等式的解集為空集,求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知

(1)討論的單調(diào)性;

(2)若存在及唯一正整數(shù),使得,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知四棱錐的底面為正方形, 上面 的中點.

(1)求證: ;

(2)求直線與平面所成角的余弦值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案