Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+a，x＜1}\\{（x+a）（x+2a），x≥1}\end{array}\right.$，若f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的范圍是$（-∞，-2]∪（-1，-\frac{1}{2}]$．

Answer 1

分析 分別設(shè)h（x）=2^x+a，g（x）=（x+a）（x+2a），分兩種情況討論，即可求出a的范圍．

解答 解：設(shè)h（x）=2^x+a，g（x）=（x+a）（x+2a），
若在x＜1時(shí)，h（x）=2^x+a與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，則a＜0，并且當(dāng)x=1時(shí)，h（1）=2+a＞0，-2＜a＜0，
而函數(shù)g（x）=（x+a）（x+2a）有一個(gè)交點(diǎn)，所以-2a≥1，且-a＜1，
∴-1$＜a≤-\frac{1}{2}$；
當(dāng)a≤-2時(shí)，在（-∞，-1）上，h（x）=2^x+a與x軸無交點(diǎn)，函數(shù)g（x）=（x+a）（x+2a）在x∈[1，+∞）上有兩個(gè)交點(diǎn)（-2a，0），（-a，0）．
當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)h（x）=2^x+a在x＜1時(shí)，與x軸沒有交點(diǎn)，函數(shù)g（x）=（x+a）（x+2a）在x∈[1，+∞）上與x軸無交點(diǎn)．
綜上所述a的取值范圍是$（-∞，-2]∪（-1，-\frac{1}{2}]$．
故答案為：$（-∞，-2]∪（-1，-\frac{1}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的問題，以及函數(shù)的零點(diǎn)問題，培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力以及分類能力，屬于中檔題．