Question

9．已知直角坐標(biāo)系xOy的原點和極坐標(biāo)系Ox的極點重合，x軸非負(fù)半軸與極軸重合，單位長度相同，在直角坐標(biāo)系下，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}}$，（φ為參數(shù)）．
（1）在極坐標(biāo)系下，若曲線C與射線θ=$\frac{π}{4}$和射線θ=-$\frac{π}{4}$分別交于A，B兩點，求△AOB的面積；
（2）給出直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsinθ=2，求曲線C與直線l在平面直角坐標(biāo)系中的交點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}}$，（φ為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得：曲線 C在直角坐標(biāo)系下的普通方程．將其化為極坐標(biāo)方程為$\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}θ}}{4}+{ρ^2}{sin^2}θ=1$，分別代入$θ=\frac{π}{4}$和$θ=-\frac{π}{4}$，可得|OA|，|OB|，$∠AOB=\frac{π}{2}$，利用直角三角形面積計算公式可得△AOB的面積．
（2）將l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程得x-y-2=0，與橢圓方程聯(lián)立解出即可得出交點坐標(biāo)．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}}$，（φ為參數(shù)），
利用平方關(guān)系可得：曲線 C在直角坐標(biāo)系下的普通方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
將其化為極坐標(biāo)方程為$\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}θ}}{4}+{ρ^2}{sin^2}θ=1$，
分別代入$θ=\frac{π}{4}$和$θ=-\frac{π}{4}$，得${|{OA}|^2}={|{OB}|^2}=\frac{8}{5}$，
∵$∠AOB=\frac{π}{2}$，故△AOB的面積$S=\frac{1}{2}|{OA}||{OB}|=\frac{4}{5}$．
（2）將l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，得x-y-2=0，
聯(lián)立方程$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\\{x-y-2=0}\end{array}}\right.$，解得x=2，y=0，或$x=\frac{6}{5}，y=-\frac{4}{5}$，
∴曲線C與直線l的交點坐標(biāo)為（2，0）或$（{\frac{6}{5}，-\frac{4}{5}}）$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與橢圓的交點，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．