Question

已知圓C：x²+8x+y²+a=0在y軸上截得的線段長為4．
（1）求過點P（-2，4）且與圓C相切的直線方程；
（2）若點O和點C分別是坐標原點和已知圓的圓心，點Q為圓C上任意一點，求

OQ

•

CQ

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）利用圓C：x²+8x+y²+a=0在y軸上截得的線段長為4，求出圓的方程，設出直線方程，利用點到直線的距離公式，求過點P（-2，4）且與圓C相切的直線方程；
（2）設Q（-4+2

5

cosα，2

5

sinα），則

OQ

•

CQ

=（-4+2

5

cosα，2

5

sinα）•（2

5

cosα，2

5

sinα）=-8

5

cosα+20，即可求

OQ

•

CQ

的取值范圍．

解答： 解：（1）∵圓C：x²+8x+y²+a=0在y軸上截得的線段長為4，
∴2

-a

=4，
∴a=-4，
∴圓C：x²+8x+y²-4=0的圓心為圓心坐標為（-4，0），半徑為2

5

，
設直線方程為y-4=k（x+2），則kx-y+2k+4=0，
∴

|-4k+2k+4|

k2+1

=2

5

，
∴k=-

1

2

，
∴過點P（-2，4）且與圓C相切的直線方程為x+2y-6=0；
（2）設Q（-4+2

5

cosα，2

5

sinα），則

OQ

•

CQ

=（-4+2

5

cosα，2

5

sinα）•（2

5

cosα，2

5

sinα）=-8

5

cosα+20，
∴

OQ

•

CQ

的取值范圍是[-8

5

+20，8

5

+20]．

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．