Question

15．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，PC⊥BD．
（1）證明：PB=PD；
（2）若平面PBD⊥平面ABCD，且∠DPB=90°，求點(diǎn)B到平面PDC的距離．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OP．利用菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理可證明BD⊥PO．又O是BD的中點(diǎn)，可得PB=PD．
（2）底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，可得△PBD與△BCD都是等邊三角形．由平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PO⊥BD．可得PO⊥平面ABCD，因此PO⊥AC，又AC⊥BD，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$，利用點(diǎn)B到平面PDC的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}|}{|\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （1）證明：如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OP．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PC⊥BD，且PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC．則BD⊥PO．
又O是BD的中點(diǎn)，∴PB=PD．
（2）解：底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴△PBD與△BCD都是等邊三角形．
∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PO⊥BD．
∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC，又AC⊥BD，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
∵∠DPB=90°，PB=PD，BD=2，
∴PO=1，∴P（0，0，1），B（1，0，0），D（-1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{PD}$=（-1，0，-1），$\overrightarrow{PC}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{CB}$=（1，-$\sqrt{3}$，0），
設(shè)平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-x-z=0}\\{\sqrt{3}y-z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=$（-\sqrt{3}，1，\sqrt{3}）$，
則點(diǎn)B到平面PDC的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-\sqrt{3}-\sqrt{3}|}{\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間位置關(guān)系、距離的計(jì)算、線面垂直判定與性質(zhì)定理、等腰與等邊三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．