Question

20．已知函數(shù)f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）+$\sqrt{3}$cos2x+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）-m=2在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)的倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]的取值情況，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：（I）∵由f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）
+$\sqrt{3}$cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+2，
…（3分）
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
解得：kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z；…（6分）
（II）由f（x）-m=2，
∴f（x）=m+2，當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，
2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，由圖象得f（0）
=2+2sin$\frac{π}{3}$=2+$\sqrt{3}$，函數(shù)f（x）的最大值為4，…（9分）
∴要使方程f（x）-m=2在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)不同的解，
則f（x）=m+2在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)不同的解，
即函數(shù)f（x）和y=m+2在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
即2$+\sqrt{3}$≤2+m＜4，
∴$\sqrt{3}$≤m＜2．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．