Question

3．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=2，前n項(xiàng)和為S_n，$3{S_n}-4，{a_n}，2-\frac{{3{S_{n-1}}}}{2}，（n≥2）$總是成等差數(shù)列．
（1）證明數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（2）求滿足不等式${a_n}＜{（-4）^{n-1}}$的正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可得4a_n=6S_n-4-3S_n-1，根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可證明，
（2）分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況，即可得出．

解答 解：（1）∵$2{a_n}=3{S_n}-4+2-\frac{{3{S_{n-1}}}}{2}$，整理得：4a_n=6S_n-4-3S_n-1，（n≥2），4a_n-1=6S_n-1-4-3S_n-2，（n≥3），
相減得：4a_n-4a_n-1=6a_n-3a_n-1，（n≥3），即${a_n}=-\frac{1}{2}{a_{n-1}}$，（n≥3），
又∵$2{a_2}=3{S_2}-4+2-\frac{{3{S_1}}}{2}$，得a₂=-1，即${a_2}=-\frac{1}{2}{a_1}$，
綜上，數(shù)列{a_n}是以$-\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列　　　　　　　
（2）${a_n}=2×{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}＜{（-4）^{n-1}}?{（-1）^{n-1}}{2^{2-n}}＜{（-1）^{n-1}}{2^{2n-2}}$，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，${2^{2-n}}＜{2^{2n-2}}?2-n＜2n-2?n＞\frac{4}{3}$，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，${2^{2-n}}＞{2^{2n-2}}?2-n＞2n-2?n＜\frac{4}{3}$，此時(shí)無解
綜上得正整數(shù)n的最小值為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推公式和等差數(shù)列的性質(zhì)以及數(shù)列和不等式的關(guān)系，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和分類討論的能力，屬于中檔題