9．已知二次函數(shù)f（x）=ax2+1（x∈R）的圖象過(guò)點(diǎn)A（-1，3）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）證明f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)．

分析 （Ⅰ）A代入函數(shù)的解析式，求出a，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)．

解答 （Ⅰ）解：∵二次函數(shù)f（x）=ax2+1（x∈R）的圖象過(guò)點(diǎn)A（-1，3），
∴a+1=3，∴a=2，
∴函數(shù)的解析式為f（x）=2x2+1-----------------------------------------（6分）
（Ⅱ）證明：∵f（x）=2x2+1，
∴f′（x）=4x，
∵x＜0，∴f′（x）=4x＜0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)．----------------------------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的單調(diào)性，比較基礎(chǔ)．

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（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
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18．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），且橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最短距離為$\frac{\sqrt{3}}{3}$b．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若點(diǎn)M（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在橢圓C上，不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，與直線OM相交于點(diǎn)N，且N是線段AB的中點(diǎn)，求△OAB面積的最大值．

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19．設(shè)函數(shù)f（x）=ex（ax2+x+1）．
（1）若a＞0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在x=1處有極值，請(qǐng)證明：對(duì)任意$θ∈[{0，\frac{π}{2}}]$時(shí)，都有|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2．

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