Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（ax²+x+1）．
（1）若a＞0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在x=1處有極值，請證明：對任意$θ∈[{0，\frac{π}{2}}]$時，都有|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出a的值，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）f'（x）=e^x（ax²+x+1）+e^x（2ax+1）=$a{e^x}（x+\frac{1}{a}）（x+2）$，
當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時，$f'（x）=\frac{1}{2}{e^x}{（x+2）^2}≥0$，f（x）在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{2}$時，f'（x）＞0，解得x＞-2或$x＜-\frac{1}{a}$；f'（x）＜0，解得$-\frac{1}{a}＜x＜-2$，
故函數(shù)f（x）在$（-∞，-\frac{1}{a}）$和（-2，+∞）上單調(diào)遞增，在$（-\frac{1}{a}，-2）$上單調(diào)遞減．
當(dāng)$a＞\frac{1}{2}$時，f'（x）＞0，解得$x＞-\frac{1}{a}$或x＜-2；f'（x）＜0，解得$-2＜x＜-\frac{1}{a}$，
故函數(shù)f（x）在（-∞，-2）和$（-\frac{1}{a}，+∞）$上單調(diào)遞增，在$（-2，-\frac{1}{a}）$上單調(diào)遞減．
所以當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，+∞）；
當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{2}$時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$（-∞，-\frac{1}{a}）$和（-2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是$（-\frac{1}{a}，-2）$；
當(dāng)$a＞\frac{1}{2}$時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-2）和$（-\frac{1}{a}，+∞）$，單調(diào)遞減區(qū)間是$（-2，-\frac{1}{a}）$．
（2）證明：∵x=1時，f（x）有極值，∴f'（x）=3e（a+1）=0，∴a=-1，
∴f（x）=e^x（-x²+x+1），f'（x）=-e^x（x-1）（x+2），
由f'（x）＞0，得-2＜x＜1，∴f（x）在[-2，1]上單調(diào)遞增．
∵$θ∈[{0，\frac{π}{2}}]$，∴sinθ，cosθ∈[0，1]，
∴|f（cosθ）-f（sinθ）|≤f（1）-f（0）=e-1＜2．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．