Question

已知A，B分別是橢圓C₁：=1的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓上異與A，B的任意一點(diǎn)，Q是雙曲線C₂：=1上異與A，B的任意一點(diǎn)，a＞b＞0．
（I）若P（），Q（，1），求橢圓C_l的方程；
（Ⅱ）記直線AP，BP，AQ，BQ的斜率分別是k₁，k₂，k₃，k₄，求證：k₁•k₂+k₃•k₄為定值；
（Ⅲ）過(guò)Q作垂直于x軸的直線l，直線AP，BP分別交 l于M，N，判斷△PMN是否可能為正三角形，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程，點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入雙曲線方程，兩式聯(lián)立后可求得a²與b²的值，從而求出橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)出P、Q的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式直接寫(xiě)出直線AP，BP，AQ，BQ的斜率，把P、Q的縱坐標(biāo)分別用橫坐標(biāo)表示，代入k₁•k₂+k₃•k₄后整理即可得到結(jié)論；
（Ⅲ）假設(shè)△PMN能為正三角形，利用平面幾何知識(shí)可得到∠PAN=30°，∠PBA=30°，從而得到點(diǎn)P位于橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)△PMN能為正三角形．
解答：（Ⅰ）解：∵P（）在橢圓上，Q（，1）在雙曲線上，
則，
①+②×3得：，a²=5，
把a(bǔ)²=5代入①得，b²=4．
所以橢圓C_l的方程為；
（Ⅱ）證明：由A（-a，0），B（a，0），
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則，，，
k₁•k₂+k₃•k₄=
=
∵設(shè)P（x₁，y₁）在橢圓上，Q（x₂，y₂）在雙曲線上，
∴，
則k₁•k₂+k₃•k₄===．
所以k₁•k₂+k₃•k₄為定值；
（Ⅲ）假設(shè)△PMN是正三角形，
∴∠MPN=∠PMN=60°，
又∵M(jìn)N⊥x軸，∴∠PAN=30°，∠PBA=30°，
∴△PAB為等腰三角形，∴點(diǎn)P位于y軸上，且P在橢圓上，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，±b），
此時(shí)，
即a=．
綜上，當(dāng)a=，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，±b）時(shí)，△PMN為正三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題是圓錐曲線的綜合題，考查了利用代入法求圓錐曲線的方程，訓(xùn)練了學(xué)生的整體運(yùn)算能力，考查了平面幾何知識(shí)在圓錐曲線問(wèn)題中的應(yīng)用，是有一定難度題目．