Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{|x+1|+|x-2|+a}$
（Ⅰ）當(dāng)a=-5時，求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的定義域為R，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要使函數(shù)f（x）=$\sqrt{|x+1|+|x-2|+a}$有意義，則|x+1|+|x-2|-5≥0．然后對x分類討論去絕對值求解；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域為R，則|x+1|+|x-2|+a≥0恒成立．即|x+1|+|x-2|≥-a恒成立．構(gòu)造函數(shù)h（x）=|x+1|+|x-2|，寫出分段函數(shù)解析式，求出最小值得答案．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-5時，要使函數(shù)f（x）=$\sqrt{|x+1|+|x-2|+a}$有意義，
則|x+1|+|x-2|-5≥0．
①當(dāng)x≤-1時，原不等式可化為-x-1-x+2-5≥0，即x≤-2；
②當(dāng)-1＜x＜2時，原不等式可化為x+1-x+2≥5，即3≥5，顯然不成立；
③當(dāng)x≥2時，原不等式可化為x+1+x-2≥5，即x≥3．
綜上所求函數(shù)的定義域為（-∞，-2]∪[3，+∞）；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域為R，則|x+1|+|x-2|+a≥0恒成立．
即|x+1|+|x-2|≥-a恒成立．
構(gòu)造函數(shù)h（x）=|x+1|+|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{1-2x，x≤-1}\\{3，-1＜x＜2}\\{2x-1，x≥2}\end{array}\right.$，求得函數(shù)的最小值為3．
∴a≥-3．

點評 本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．