Question

已知直線l的方程為kx-y+1=0（k∈R），圓C的方程為x²+y²-2x-3=0．
（1）試判斷直線與圓C的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）過點（0，1）作直線l₁⊥l，設(shè)直線l₁與圓C相交于M，N兩點，直線l與圓C相交于P，Q兩點，則四邊形PMQN的面積是否存在最大值和最小值？若存在，請求出，否則說明理由．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）首先求出直線恒過的定點（0，1）進一步判斷點與圓的位置關(guān)系，從而確定直線與圓的位置關(guān)系
（2）根據(jù)直線與直線垂直，并且還判斷出直線都過（0，1）點，并進一步求出結(jié)果．

解答： 解：（1）結(jié)論：直線與圓C的位置關(guān)系是：相交
理由：已知直線l的方程為kx-y+1=0（k∈R）
則直線l恒過（0，1）點，圓C的方程為x²+y²-2x-3=0轉(zhuǎn)化為：（x-1）²+y²=4  R=2
點（0，1）到圓心的距離為

2

＜2=R
所以點（0，1）在圓內(nèi)，即直線與圓相交
（2）由（1）得直線l恒過（0，1）點，過點（0，1）作直線l₁⊥l，則直線l₁的直線方程為：y=-

1

k

x+1
則這條直線也恒過（0，1），圓C的方程為x²+y²-2x-3=0轉(zhuǎn)化為：（x-1）²+y²=4
所以：直線l₁與圓C相交于M，N兩點，直線l與圓C相交于P，Q兩點構(gòu)成的四邊形，當(dāng)直線MN的斜率不存在時，由于MN⊥PQ，則四邊形PMQN的面積為最大值．
S max=

1

2

•2

3

•2

3

=18．
當(dāng)k=±1時，利用圓心到直線的距離d=

2

所以：兩條對角線的長都為4，由于對角線互相垂直，
所以：Smin=

1

2

•4•4=8．

點評：本題考查的知識點：點、直線與圓的位置關(guān)系，恒過定點的直線，直線和圓相交的特殊情況，屬于中檔題．