Question

3．已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+cos2x-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，
（2）x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大和最小值．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+cos2x-1．
化簡(jiǎn)可得：f（x）=2sinxcosx+cos2x
=sin2x+cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
（2）由（1）可知，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上，
∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$-\frac{3π}{4}，\frac{π}{4}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
故得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值分別為1，$-\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．