【題目】設(shè)f(k)是滿足不等式log2x+log2(52k﹣1﹣x)≥2k(k∈N*)的自然數(shù)x的個數(shù).
(1)求f(k)的函數(shù)解析式;
(2)Sn=f(1)+2f(2)+…+nf(n),求Sn .
【答案】
(1)
解:由原不等式得log2(52k﹣1x﹣x2)≥2k=log222k,
則x2﹣52k﹣1x+22k≤0,
故2k﹣1≤x≤42k﹣1.
∴f(k)=42k﹣1﹣2k﹣1+1=32k﹣1+1(k∈N*);
(2)
解:kf(k)=3k2k﹣1+k.
Sn=f(1)+2f(2)+…+nf(n)=3(1+22+…+n2n﹣1)+(1+2+…+n),
設(shè)t=1+22+…+n2n﹣1(1)
2t=12+222+…+n2n(2)
(1)式減(2)式得﹣t=1+2+…+2n﹣1﹣n2n
∴t=(n﹣1)2n+1
∴ .
【解析】(1)由原不等式得log2(52k﹣1x﹣x2)≥2k=log222k , 則x2﹣52k﹣1x+22k≤0,得到x的取值范圍后,就能求出f(k)的解析式;(2)由Sn=f(1)+2f(2)+…+nf(n)=3(1+22+…+n2n﹣1)+(1+2+…+n),利用錯位相減法、等差數(shù)列的求和公式,即可求得結(jié)果.
【考點精析】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)和數(shù)列的前n項和的相關(guān)知識點,需要掌握①加法:②減法:③數(shù)乘:④⑤;數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一個圓錐的底面半徑為2cm,高為6cm,其中有一個高為xcm的內(nèi)接圓柱.
(1)試用x表示圓柱的側(cè)面積;
(2)當x為何值時,圓柱的側(cè)面積最大.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點P(1,1),過點P動直線l與圓C:x2+y2﹣2y﹣4=0交與點A,B兩點.
(1)若|AB|= ,求直線l的傾斜角;
(2)求線段AB中點M的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中, 底面, , , , 是棱上一點.
(I)求證: .
(II)若, 分別是, 的中點,求證: ∥平面.
(III)若二面角的大小為,求線段的長
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】用秦九韶算法求多項式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x,當x=3時的值,并將結(jié)果化為8進制數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有一個容量為60的樣本(60名學生的數(shù)學考試成績),分組情況如表:
分組 | 0.5~20.5 | 20.5~40.5 | 40.5~60.5 | 60.5~80.5 | 80.5~100.5 |
頻數(shù) | 3 | 6 | 12 | ||
頻率 | 0.3 |
(1)填出表中所剩的空格;
(2)畫出頻率分布直方圖.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)計一個計算的算法.下面給出了程序的一部分,則在橫線①上不能填入下面的哪一個數(shù)( )
A.13
B.13.5
C.14
D.14.5
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