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平面圖形ABB2A2C3C如圖4所示,其中BB1C1C是矩形,BC=2,BB1=4,AB=AC=數學公式,A1B1=A1C1=數學公式.現將該平面圖形分別沿BC和B1C1折疊,使△ABC與△A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直,再分別連接A2A,A2B,A2C,得到如圖2所示的空間圖形,對此空間圖形解答下列問題.
(Ⅰ)證明:AA1⊥BC;
(Ⅱ)求AA1的長;
(Ⅲ)求二面角A-BC-A1的余弦值.

(Ⅰ)證明:取BC,B1C1的中點為點O,O1,連接AO,OO1,A1O,A1O1,
∵AB=AC,∴AO⊥BC
∵平面ABC⊥平面BB1C1C,平面ABC∩平面BB1C1C=BC
∴AO⊥平面BB1C1C
同理A1O1⊥平面BB1C1C,∴AO∥A1O1,∴A、O、A1、O1共面
∵OO1⊥BC,AO⊥BC,OO1∩AO=O,∴BC⊥平面OO1A1A
∵AA1?平面OO1A1A,∴AA1⊥BC;
(Ⅱ)解:延長A1O1到D,使O1D=OA,則∵O1D∥OA,∴AD∥OO1,AD=OO1
∵OO1⊥BC,平面A1B1C1⊥平面BB1C1C,平面A1B1C1∩平面BB1C1C=B1C1,
∴OO1⊥面A1B1C1
∵AD∥OO1,
∴AD⊥面A1B1C1,
∵AD=BB1=4,A1D=A1O1+O1D=2+1=3
∴AA1==5;
(Ⅲ)解:∵AO⊥BC,A1O⊥BC,∴∠AOA1是二面角A-BC-A1的平面角
在直角△OO1A1中,A1O=
在直角△OAA1中,cos∠AOA1=-
∴二面角A-BC-A1的余弦值為-
分析:(Ⅰ)證明AA1⊥BC,只需證明BC⊥平面OO1A1A,取BC,B1C1的中點為點O,O1,連接AO,OO1,A1O,A1O1,即可證得;
(Ⅱ)延長A1O1到D,使O1D=OA,則可得AD∥OO1,AD=OO1,可證OO1⊥面A1B1C1,從而AD⊥面A1B1C1,即可求AA1的長;
(Ⅲ)證明∠AOA1是二面角A-BC-A1的平面角,在直角△OAA1中,利用余弦定理,可求二面角A-BC-A1的余弦值.
點評:本題考查線線垂直,考查線面垂直,考查面面角,解題的關鍵是掌握線面垂直的判定,正確作出面面角.
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